石墨烯有多厚？

　　一片石墨烯是導體，導體與導體放在一起當然會相互導通，然而兩片石墨烯透過特殊的轉角技術，疊在一起後竟然會相互不導通！利用這樣的特性，石墨烯這樣僅僅是一層碳原子排列而成的二維材料始祖，其電子雲厚度，竟然可以被電傳輸實驗，透過與理論模擬的搭配，間接被量到！

　　石墨烯，即單層的石墨，於2004年首度被發現[1]，開創了二維材料的新世代。然而在經過十多年的密集開發，石墨烯各式各樣的特性該被研究的，也都被研究得差不多了。就在石墨烯熱潮逐漸退燒之際，2018年一篇曠世巨作[2]又再把石墨烯的熱潮帶了回來。這回發現的是，石墨烯透過「撕與轉技術」（圖1），形成所謂的轉角石墨烯，在特殊的角度下竟然可以呈現超導態，而該轉角約1.1至1.2度左右，被稱為魔角（magic angle）。這件凝態物理界的大事，掀起了一陣轉轉潮，不論是理論或實驗，大家都在轉，而且是各種角度的嘗試著。很快的，人們發現轉角石墨烯隨著轉角的不同，呈現相當不同的性質，有著相當豐富的物理可探索。

　　大致來說，轉角石墨烯可分為極小角、魔角、小角、以及大角。其中，大角度轉角石墨烯，即是本文要淺談的範疇。大角度轉角石墨烯的特色是，兩層堆疊在一起的石墨烯，相互之間將變得不導通，彷彿中間插了一層絕緣體一般。這顯然有點難以置信，然而，本校物理系劉明豪副教授與蘇黎世聯邦理工學院（ETH）的實驗團隊合作，將這難以置信的特點給予了直接的證實[3]。

　　實驗方面，主導實驗的Peter Rickhaus博士先是設計了兩種實驗裝置，都是雙層石墨烯置於上、下電閘之中的電子波干涉儀。電閘的功能是調控電子的能量（反比於電子波波長），且下電閘涵蓋整個石墨烯，而上電閘則僅涵蓋中間的有限區域。當上、下電閘將石墨烯中間區域與外面區域調控為n型與p型兩種不同載子時，中間區域形同共振空腔，整個石墨烯裝置的電導會隨著中間區域電子波波長的改變而震盪，這是電子波干涉儀的基本運作原理。

　　Rickhaus博士設計的兩種雙層石墨烯電子波干涉儀主要的差別是，中間有或沒有插入超薄絕緣體（約3.5奈米），有絕緣層的即為對照組，另一組不但兩片石墨烯是直接接觸，而且是大角度的轉角石墨烯（約22度）。在基本的電性量測中，對照組呈現了一些不意外的行為，也就是閘電壓掃描中得到兩個高電阻的電導波谷，其對應的電壓值相互分開，這個電導波谷是來自於電子濃度的低點。一般來說，無論是單層石墨烯或是（天然型）雙層石墨烯，其電子濃度在閘電壓的掃瞄中只會呈現一次最低點。對照組具有兩個最低點是合理的，因為兩層石墨烯中間插入絕緣層的關係，閘電極調控上層石墨烯的效率，會跟下層石墨烯不同。

　　兩個電導波谷這樣的行為，竟然在大角度轉角石墨烯這組裝置也被看到了，這意味著兩層石墨烯有可能處於互不導通的狀態。基於互不導通的假設下，劉明豪副教授先是建構了一個高效自洽的量子電容模型，然後考慮Rickhaus博士的實驗裝置幾何，進行量子傳輸模擬，得到了與實驗近乎相同的結果（圖2），直接證實了大角度轉角石墨烯的互不導通行為！

　　這個結果有許多振奮人心的意涵。首先，兩層導體中間包夾絕緣層，這是靜電學當中最基本的平行板電容器，其電容值隨著絕緣層厚度下降而增加。轉角石墨烯中間的「絕緣層」差不多就是石墨的層間距，也就是0.334奈米，這可以說是平行板電容器所能包夾的最薄絕緣層。再者，層間距在劉副教授的理論模擬當中扮演了一個影響極大的角色。當使用0.334奈米作為層間距時，所得到的結果看起來也算是令人滿意，只是與實驗的一致性就不如圖2那麼高。多番測試結果顯示，使用層間距0.12奈米的結果，與實驗結果一致性最高。顯然，這個0.12奈米不是碳原子到碳原子的距離，而有點像是扣除碳原子的電子雲厚度之後剩下的間距。這意味著，石墨烯的電子雲厚度，在這樣的傳輸實驗中被量測到了！

　　這些很酷的發現還有許多值得深入探討的研究，例如外加磁場的行為。這個部分由一年半前加入劉副教授理論團隊的波蘭籍研究人員柯琳娜博士主導，延續與ETH實驗團隊的合作，最新的研究成果近日剛發表於[4]。

[1] K. S. Novoselov et al., Science 306, 666 (2004).

[2] Y. Cao et al., Nature (London) 556, 43 (2018).

[3] P. Rickhaus et al., Science Advances 6, eaay8409 (2020).

[4] A. Mrenca-Kolasinska et al., 2D Mater. 9, 025013 (2022).

圖1「撕與轉技術」的示意圖，以製備轉角石墨烯。

Schematic of the “tear and twist” technique used to fabricate twisted bilayer graphene.

圖2 大角度轉角石墨烯電子干涉儀的理論模擬（左）與實驗結果（右）[3]。

Theoretical (left) and experimental (right) results of the electron interferometer using large-angle twisted bilayer graphene [3].